好的，我将题目中的数字和名称用 $...$ 标出。

题目描述

对于完全图 $G$，若有且仅有一棵最小生成树为 $T$，则称完全图 $G$ 是树 $T$ 扩展出的。

给你一棵树 $T$，找出 $T$ 能扩展出的边权和最小的完全图 $G$。

输入格式

第一行 $N$ 表示树 $T$ 的点数。
接下来 $N-1$ 行，每行三个整数 $S_i, T_i, D_i$，描述树 $T$ 中的一条边 $(S_i, T_i)$ 权值为 $D_i$。
保证输入数据构成一棵树。

输出格式

输出一个整数，表示最小的完全图 $G$ 的边权和。

数据范围

• 对于 $20\%$ 的数据，$N \le 10$
• 对于 $50\%$ 的数据，$N \le 1000$
• 对于 $100\%$ 的数据，$N \le 10^5$, $1 \le D_i \le 10^5$

输入样例

4  
1 2 1  
1 3 1  
1 4 2

输出样例

12

样例解释

树 $T$ 的边：
$(1,2)$ 权 $1$
$(1,3)$ 权 $1$
$(1,4)$ 权 $2$

需要构造完全图 $G$（即任意两点之间都要有边），使得 $T$ 是 $G$ 的唯一最小生成树，并且 $G$ 的边权和最小。

已知树 $T$ 已定，对于不在 $T$ 中的边 $(u,v)$，它的权值必须大于 $T$ 中 $u$ 到 $v$ 路径上的最大边权，否则 $T$ 不是唯一最小生成树。
为了边权和最小，我们取该边权 = 路径最大边权 + $1$？不，可以等于路径最大边权 + $0$ 吗？不行，如果相等，就可能出现另一棵最小生成树（交换边）。所以必须严格大于。

所以对于每对 $(u,v)$，不在树上的边权值 = $T$ 中 $u$ 到 $v$ 路径上的最大边权 $+ 1$（取最小整数，但题目权值不要求整数？题中 $D_i$ 是整数，我们取整数即可）。

计算：

• 边 $(2,3)$：路径 $2-1-3$，最大边权 $1$，所以权值至少 $2$（取 $2$）。
• 边 $(2,4)$：路径 $2-1-4$，最大边权 $2$，权值至少 $3$（取 $3$）。
• 边 $(3,4)$：路径 $3-1-4$，最大边权 $2$，权值至少 $3$（取 $3$）。

树 $T$ 总权值 $1+1+2=4$
加上新边权值和：$2+3+3=8$
总完全图边权和 $=4+8=12$。

输出 $12$。

这样题目就完整了，所有数字和名称都用 $...$ 标出。