好的，我将这道题整理为清晰的题面格式，并补充样例解释、数据范围与时空限制：

题目描述

原题来自：AHOI 2012

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为 $N+1$ 尺的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是 $1$ 尺的整数倍。教官命令队员们每人选取 $N$ 个空心钢材来搭建一个总高度为 $N$ 尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为 $1$ 尺，宽度也为 $1$ 尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？

注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上（即钢材可以旋转，但空心面必须朝下或朝侧面）。

图例说明：
题目原图展示了用不同高度和宽度的矩形钢材（1×1, 1×2, 2×1, 2×2 等）拼成一个直角阶梯状结构，每层高度1尺，宽度1尺，整体是一个高度 $N$ 尺、宽度 $N$ 尺的直角楼梯形状。

输入格式

一个正整数 $N$，表示阶梯的高度。

输出格式

一个正整数，表示搭建方法的个数。

注：搭建方法个数可能很大，此题不需要取模，直接输出完整整数。

样例

样例输入

3

样例输出

5

样例解释

$N=3$ 时，共有 $5$ 种不同的搭建方法。
这 $5$ 种方法如图（原题附图）所示，对应卡特兰数 $C_3 = 5$。

数据范围

对于全部数据，$1 \le N \le 500$。

时空限制

• 时间：$1000 \text{ ms}$
• 内存：$524288 \text{ KB}$

提示
该问题等价于用 $N$ 个矩形（尺寸任意，但必须边长整数尺）无重叠地拼成一个直角楼梯形状（$N$ 级台阶，每级高 $1$ 宽 $1$）。这等价于凸多边形三角剖分或卡特兰数问题。

结论：答案为第 $N$ 个卡特兰数：

其中 $N$ 最大为 $500$，$\binom{2N}{N}$ 的值非常大（位数约 $300$ 位），因此需要使用高精度计算卡特兰数。