好的，我将这道题整理为清晰的题面格式，并补充样例解释、数据范围与时空限制：

题目描述

原题来自：BZOJ 4403

给定三个正整数 $N, L$ 和 $R$，统计长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L$ 到 $R$ 之间的单调不降序列的数量。输出答案对 $10^6+3$（即 $1000003$）取模的结果。

输入格式

输入第一行包含一个整数 $T$，表示数据组数。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $N, L, R$，含义如题目描述。

输出格式

输出包含 $T$ 行，每行一个整数，表示所求答案对 $1000003$ 取模的结果。

样例

样例输入

2
1 4 5
2 4 5

样例输出

2
5

样例解释

第一组：$N=1, L=4, R=5$
可能的序列长度 $=1$，元素范围 $[4,5]$
序列有：$\{4\},\{5\}$，共 $2$ 个。

第二组：$N=2, L=4, R=5$
序列长度可以是 $1$ 或 $2$。
长度 $1$ 的序列：$\{4\},\{5\}$（共 $2$ 个）
长度 $2$ 的单调不降序列：$\{4,4\},\{4,5\},\{5,5\}$（共 $3$ 个）
总数为 $2+3=5$。

数据范围

对于全部输入：

• $1 \le N, L, R \le 10^9$
• $1 \le T \le 100$
• 保证 $L \le R$

时空限制

• 时间：$1000 \text{ ms}$
• 内存：$524288 \text{ KB}$

提示
设 $m = R - L + 1$，即元素可选的种类数。

长度固定为 $k$ 的单调不降序列（元素范围 $[L,R]$）的个数等于 $C_{m+k-1}^{k}$（隔板法或映射到不降序列的组合数公式）。

因此，答案为：

其中 $m = R-L+1$。

利用组合恒等式 $\sum_{k=0}^{N} C_{m+k-1}^{k} = C_{m+N}^{N}$，可得：

因此问题转化为计算 $C_{m+N}^{N} \bmod 1000003$，其中 $m+N$ 可能非常大（达到约 $2\times 10^9$），但模数 $1000003$ 是质数，可以使用 Lucas 定理 进行计算。