1502：汽车加油行驶问题

题目描述

给定一个 $N×N$ 的方形网格，设其左上角为起点◎，坐标为 $(1,1)$，$X$ 轴向右为正，$Y$ 轴向下为正，每个方格边长为 $1$，如图所示。

一辆汽车从起点◎出发驶向右下角终点▲，其坐标为 $(N,N)$。

在若干个网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中加油。汽车在行驶过程中应遵守如下规则：

1. 行驶限制：汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶 $K$ 条网格边。出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。
2. 方向费用：汽车经过一条网格边时，若其 $X$ 坐标或 $Y$ 坐标减小，则应付费用 $B$，否则免付费用（即向右或向下行驶免费，向左或向上行驶需付费 $B$）。
3. 油库加油：汽车在行驶过程中遇到油库必须加满油并付加油费用 $A$。
4. 增设油库：在没有油库的网格点处，汽车可以增设临时油库（加满油）并付增设油库费用 $C$（不含加油费用 $A$）。注意：增设油库后该点不会永久变成油库，只是本次可以使用。

$N,K,A,B,C$ 均为正整数，且满足约束：$2 \le N \le 100$，$2 \le K \le 10$。

设计一个算法，求出汽车从起点出发到达终点的一条所付费用最少的行驶路线。

输入格式

第一行是 $N,K,A,B,C$ 的值。

第二行起是一个 $N×N$ 的 $0$-$1$ 方阵，每行 $N$ 个值，至 $N+1$ 行结束。

方阵的第 $i$ 行第 $j$ 列处的值为 $1$ 表示在网格交叉点 $(i,j)$ 处设置了一个油库，为 $0$ 时表示未设油库。各行相邻两个数以空格分隔。

输出格式

输出一个整数，表示最小费用。

样例

样例输入 #1

9 3 2 3 6
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0

样例输出 #1

12

样例解释 #1

• 网格大小 $N=9$，满油可行驶 $K=3$ 条边。
• 费用参数：加油费 $A=2$，逆向行驶费 $B=3$，增设油库费 $C=6$。
• 网格中 $1$ 表示有油库，$0$ 表示无油库。
• 汽车从 $(1,1)$ 出发，必须到达 $(9,9)$。
• 一种可能的最优路径（费用为 $12$）需要合理规划加油点和行驶方向，可能在某些点增设油库或利用现有油库，并尽可能避免逆向行驶费用。

数据范围

• $2 \le N \le 100$
• $2 \le K \le 10$
• $A, B, C$ 为正整数，具体范围未给出，但应在合理范围内

时空限制

• 时间限制：1000 ms
• 内存限制：262144 KB

注意：本题可以使用分层图最短路（状态为 $(x, y, 剩余油量)$）或动态规划求解。由于 $K \le 10$，状态数可控。