1496：【例 3】架设电话线

题目描述

在郊区有 $N$ 座通信基站，$P$ 条双向电缆，第 $i$ 条电缆连接基站 $A_i$ 和 $B_i$。特别地，$1$ 号基站是通信公司的总站，$N$ 号基站位于一座农场中。现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 $i$ 条电缆需要花费 $L_i$。

电话公司正在举行优惠活动。农场主可以指定一条从 $1$ 号基站到 $N$ 号基站的路径，并指定路径上不超过 $K$ 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。求至少用多少钱能完成升级。

一句话题意：在加权无向图上求出一条从 $1$ 号结点到 $N$ 号结点的路径，使路径上第 $K+1$ 大的边权尽量小。

输入格式

第一行三个整数 $N, P, K$。

接下来 $P$ 行，每行三个整数 $A_i, B_i, L_i$。

输出格式

若不存在从 $1$ 到 $N$ 的路径，输出 $-1$。否则输出所需最小费用。

样例

样例输入 #1

5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6

样例输出 #1

4

样例解释 #1

• $N=5$ 个基站，$P=7$ 条电缆，可以免费升级 $K=1$ 条电缆。
• 目标是找到一条从 $1$ 到 $5$ 的路径，使得路径上第 $2$ 大的边权最小（因为免费 $1$ 条，剩下最贵的就是第 $2$ 大）。
• 一条可能的路径是：$1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$
  • 边 $(1,3)$ 权值 $4$
  • 边 $(3,2)$ 权值 $3$
  • 边 $(2,5)$ 权值 $9$
  • 排序后：$9, 4, 3$
  • 免费 $1$ 条（最贵的 $9$ 免费），剩下最贵的是 $4$
• 另一条路径：$1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$
  • 边 $(1,3)$ 权值 $4$
  • 边 $(3,4)$ 权值 $7$
  • 边 $(4,5)$ 权值 $6$
  • 排序后：$7, 6, 4$
  • 免费 $1$ 条（最贵的 $7$ 免费），剩下最贵的是 $6$
• 最优解是 $4$，对应路径 $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$（免费 $9$，支付 $4$）或其他同样结果的路径。

数据范围

• $0 \le K < N \le 1000$
• $1 \le P \le 2000$
• $1 \le L_i \le 10^6$（或合理范围内，题目未明确给出上界，但应在整数范围内）

时空限制

• 时间限制：1000 ms
• 内存限制：65536 KB

注意：本题需要将原问题转化为判定性问题，并使用二分答案结合最短路径（0-1 BFS 或 Dijkstra）来求解。