1638：五指山

题目描述

大圣在佛祖的手掌中。

我们假设佛祖的手掌是一个圆圈，圆圈的长为 $n$，逆时针记为：$0,1,2,\cdots,n-1$，而大圣每次飞的距离为 $d$。现在大圣所在的位置记为 $x$，而大圣想去的地方在 $y$。要你告诉大圣至少要飞多少次才能到达目的地。

输入格式

有多组测试数据。

第一行是一个正整数 $T$，表示测试数据的组数；

每组测试数据包括一行，四个非负整数，分别为如来手掌圆圈的长度 $n$，筋斗所能飞的距离 $d$，大圣的初始位置 $x$ 和大圣想去的地方 $y$。

注意孙悟空的筋斗云只沿着逆时针方向翻。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，给出大圣最少要翻多少个筋斗云才能到达目的地。如果无论翻多少个筋斗云也不能到达，输出 Impossible。

样例

样例输入 #1

2
3 2 0 2
3 2 0 1

样例输出 #1

1
2

样例解释 #1

第一组数据：

• $n=3, d=2, x=0, y=2$。
• 大圣从 $0$ 出发，每次逆时针飞 $2$ 个单位。
• 飞 $1$ 次：位置 $(0+2) \bmod 3 = 2$，到达 $y$。
• 输出 $1$。

第二组数据：

• $n=3, d=2, x=0, y=1$。
• 飞 $1$ 次：到 $2$，不是 $1$。
• 飞 $2$ 次：位置 $(0+2\times2) \bmod 3 = 4 \bmod 3 = 1$，到达 $y$。
• 输出 $2$。

数据范围

对于全部数据：

• $2 < n < 10^9$
• $0 < d < n$
• $0 \le x, y < n$

时空限制

• 时间限制：1000 ms
• 内存限制：524288 KB

注意：本题实质是求解线性同余方程。设大圣飞了 $t$ 次，则位置为 $(x + d \cdot t) \bmod n = y$。即：

移项得：

令 $a = d$, $b = y - x$，则方程为 $a t \equiv b \pmod{n}$。要求最小正整数解 $t$。

解法：

1. 计算 $g = \gcd(a, n)$。
2. 如果 $b$ 不能被 $g$ 整除，则无解，输出 Impossible。
3. 否则，方程两边同除以 $g$，得到 $a' t \equiv b' \pmod{n'}$，其中 $a' = a/g$, $b' = b/g$, $n' = n/g$。
4. 由于 $\gcd(a', n') = 1$，用扩展欧几里得算法求 $a'$ 在模 $n'$ 下的逆元 $inv$，则 $t \equiv b' \cdot inv \pmod{n'}$。
5. 最小正整数解为 $t = (b' \cdot inv \bmod n' + n') \bmod n'$。

注意：$b = y - x$ 可能为负数，需要调整为模 $n$ 下的非负剩余：$b = (y - x + n) \bmod n$。但直接计算 $b = y - x$，然后在同余方程中处理负数即可（扩展欧几里得算法允许负数）。

由于 $n$ 可能很大（$10^9$），但 $T$ 不会太大（题目未给出，但通常不会很多），扩展欧几里得算法复杂度 $O(\log n)$，可以接受。

注意：如果 $b = 0$，即 $x \equiv y \pmod{n}$，则 $t=0$ 是一个解，但 $t=0$ 表示不飞，题目可能要求至少飞一次？但题目要求“最少要翻多少个筋斗云”，如果初始位置就是目的地，那么 $t=0$ 应该是答案。但样例中没有这种情况。我们输出 $0$ 即可。

另外，注意 $d$ 可能为 $0$？数据范围 $0 < d < n$，所以 $d > 0$，不会为 $0$。