好的，我将这道题整理为清晰的题面格式，并补充样例解释、数据范围与时空限制：

题目描述

由于科协里最近真的很流行数字游戏，某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 $\bmod N$ 为 $0$。现在大家又要玩游戏了，指定一个整数闭区间 $[a,b]$，问这个区间内有多少个取模数。

输入格式

题目有多组测试数据。每组只含三个整数 $a, b, N$。

输入以文件结束（EOF）为终止。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，表示各位数字和 $\bmod N$ 为 $0$ 的数的个数。

样例

样例输入

1 19 9

样例输出

2

样例解释

$N=9$，要求各位数字和能被 $9$ 整除。

在 $[1,19]$ 中：

• 数字 $9$：各位和 $9 \bmod 9 = 0$，符合；
• 数字 $18$：$1+8=9 \bmod 9 = 0$，符合；
• 其他数字各位和 mod 9 不为 0，如 $10$ 和为 1，$11$ 和为 2，等等。

所以共 $2$ 个取模数。

数据范围

对于全部数据：

• $1 \le a \le b \le 2^{31}-1$
• $1 \le N < 100$

时空限制

• 时间：$1000 \text{ ms}$
• 内存：$524288 \text{ KB}$

提示
此题为 数位 DP 问题。

状态设计：$dp[pos][sum]$ 表示处理到第 $pos$ 位（从高位到低位），当前各位数字之和模 $N$ 为 $sum$ 时的方案数。

转移：枚举当前位数字 $d$ 从 $0$ 到 $9$（若有限制则到 $digit[pos]$），更新 $sum' = (sum + d) \bmod N$。

初始状态：$dfs(0, 0, true, true)$，其中第一个 true 表示受上限限制，第二个 true 表示前面全是前导零（但这里前导零不影响数字和，可以忽略）。

最终要求 $sum = 0$，且排除数字 $0$（如果 $a>0$ 则不影响，但若区间包含 $0$，$0$ 的数字和为 $0$ 模 $N$ 为 $0$，需要根据题意判断是否算取模数。一般题目中取模数是正整数，所以 $0$ 不算）。

具体实现：

1. 将数字 $n$ 拆成数位数组；
2. DFS(pos, sum_mod, limit, lead)：
   • pos：当前位；
   • sum_mod：当前数字和模 $N$；
   • limit：是否受上限限制；
   • lead：是否前面全是前导零。
3. 记忆化：$dp[pos][sum_mod]$，$limit$ 和 $lead$ 不记忆，但当 $limit=0$ 且 $lead=0$ 时记忆化。
4. 当 pos 到达末尾时，如果 lead 为真，则返回 0（排除数字 0），否则返回 sum_mod==0 ? 1 : 0。
5. 转移：枚举当前位数字，如果 lead 为真且 d==0，则继续 lead 为真；否则 lead 变为假。

最终答案为：calc(b) - calc(a-1)。

复杂度：状态数 $O(\text{位数} \times N)$，$N \le 100$，位数不超过 10（$2^{31}-1$ 约 10 位），可以快速计算。

注意：$N$ 可能为 1，此时所有数都符合，但要注意区间内数字个数计算。