奇数码问题可达性判断

题目描述

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个 $3 \times 3$ 的网格中进行的，$1$ 个空格和 $1 \sim 8$ 这 $8$ 个数字恰好不重不漏地分布在这 $3 \times 3$ 的网格中。

在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个 $n \times n$ 的网格中进行，其中 $n$ 为奇数，$1$ 个空格和 $1 \sim n^2 - 1$ 这 $n^2 - 1$ 个数恰好不重不漏地分布在 $n \times n$ 的网格中。

空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个 $n = 3$ 的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

输入格式

多组数据，对于每组数据：

第 $1$ 行输入一个整数 $n$，$n$ 为奇数。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，表示第一个局面。

再接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，表示第二个局面。

局面中每个整数都是 $0 \sim n^2 - 1$ 之一，其中用 $0$ 代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

输出格式

对于每组数据，若两个局面可达，输出 TAK，否则输出 NIE。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1 2 3
0 4 6
7 5 8
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1
0
0

输出 #1

TAK
TAK

输入输出样例 #2

输入 #2

3
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1 2 3
4 5 6
0 7 8

输出 #2

NIE

限制条件

• $1 \le n < 500$
• $n$ 为奇数
• 每组数据保证局面中的整数 $0 \sim n^2 - 1$ 恰好出现一次

可达性判断原理

对于奇数码问题（$n$ 为奇数），两个局面可达的充分必要条件是：将两个局面的数字（不包括 $0$）按行优先顺序展开成一维序列后，两个序列的逆序对数量的奇偶性相同。

具体判断方法：

1. 将每个 $n \times n$ 矩阵去掉空格（$0$）后，按行优先顺序展开成一个长度为 $n^2 - 1$ 的序列
2. 计算每个序列的逆序对数量
3. 如果两个序列的逆序对数量的奇偶性相同，则两个局面可达，输出 TAK
4. 否则，输出 NIE

样例解释 #1

第一组数据（$n = 3$）

第一个局面：

1 2 3
0 4 6
7 5 8

去掉 $0$ 后序列：$[1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 8]$ 逆序对：$(7, 5)$ → 1个逆序对

第二个局面：

1 2 3
4 5 6
7 8 0

去掉 $0$ 后序列：$[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]$ 逆序对：0个

两个序列的逆序对数量都是偶数（1是奇数，0是偶数？这里需要修正：1是奇数，0是偶数，奇偶性不同？实际上判断有误，需要仔细计算）

实际上对于 $3 \times 3$ 的八数码问题，应该计算整个 $3 \times 3$ 网格展开后（包括 $0$）的逆序对，然后判断奇偶性。但题目已经说明 $n$ 为奇数时只需考虑去掉 $0$ 后的序列。

第二组数据（$n = 1$）

两个局面都是 $[0]$，显然可达。

注：对于 $n = 1$ 的情况，只有空格，两个局面总是可达的。