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题目描述

给定一个地图，地图中包含很多岛和连接它们的桥。

汉密尔顿路径是指沿着桥访问每个岛屿恰好一次的路径。

在我们的地图上的每个岛都具有一个权值，它是一个正整数。

假设一共有 $n$ 个岛，第 $i$ 个岛的权值为 $V_i$。

现在规定一个汉密尔顿路径的总价值为以下三个价值的和：

1. 每个岛屿的权值之和。
2. 汉密尔顿路径中，每一条边连接的相邻岛屿的权值乘积之和。
3. 如果在汉密尔顿路径中存在相邻的三个岛屿可以构成环形，则将所有满足条件的相邻岛屿三元组权值的乘积相加求和。

任务一：请你找出汉密尔顿路径的总价值最大可以为多少。 任务二：请你找出满足最大总价值的汉密尔顿路径共有多少条。

输入格式

第一行包含整数 $q$，表示共有 $q$ 组测试数据。

每组数据第一行包含两个整数 $n,m$，分别表示小岛数和桥数。

第二行包含 $n$ 个不超过 $100$ 的正整数，表示每个岛屿的权值。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $a,b$，表示岛 $a$ 和岛 $b$ 之间存在一个双向桥。

岛屿的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

每组数据输出一行，两个整数，分别表示汉密尔顿路径的最大总价值，以及满足最大总价值的汉密尔顿路径条数。

如果不存在汉密尔顿路径，则输出 0 0。

注意：将一条路径按相反的顺序输出而成的路径，视为与原路径是同一条路径。例如 1-2-3 和 3-2-1 为同一条路径。

样例

2
3 3
2 2 2
1 2
2 3
3 1
4 6
1 2 3 4
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

22 3
69 1

样例解释

第一组数据

$n=3, m=3$ 权值：$[2,2,2]$ 桥：1-2, 2-3, 3-1（完全图 $K_3$）

汉密尔顿路径（访问所有节点恰好一次）： 可能的路径（考虑顺序和逆序相同）：

1. 1-2-3
2. 1-3-2
3. 2-1-3（但逆序 3-1-2 与 2-3-1 等价？需要明确）

实际上，在 $n=3$ 的完全图中，汉密尔顿路径有 $3! = 6$ 条，但每一条路径与其逆序视为同一条，所以有 $3$ 条不同的路径（起点终点不同的环排列）。

计算每条路径的价值：

路径 1-2-3：

1. 节点权值和：2+2+2=6
2. 边权值乘积和：边(1,2):2×2=4；边(2,3):2×2=4；总和 8。
3. 三元环：检查连续三个节点 (1,2,3) 是否构成环？即是否存在边 (1,3)。由于是完全图，存在边 (1,3)，所以构成环。三元组乘积：2×2×2=8。

总价值 = 6 + 8 + 8 = 22。

路径 1-3-2：

1. 节点和：6
2. 边乘积：边(1,3):2×2=4；边(3,2):2×2=4；总和 8。
3. 三元环：(1,3,2) 存在边 (1,2)，构成环，乘积 8。

总价值 = 22。

路径 2-1-3：

1. 节点和：6
2. 边乘积：边(2,1):4；边(1,3):4；总和 8。
3. 三元环：(2,1,3) 存在边 (2,3)，构成环，乘积 8。

总价值 = 22。

所有路径价值均为 22，且共有 3 条不同的路径，输出 22 3。

第二组数据

$n=4, m=6$（完全图 $K_4$） 权值：$[1,2,3,4]$

汉密尔顿路径数量：$4!/2 = 12$ 条（因为逆序相同）。

需要计算每条路径的价值，并找出最大值和对应路径数。

计算一条路径：例如 1-2-3-4

1. 节点和：1+2+3+4=10
2. 边乘积和：1×2 + 2×3 + 3×4 = 2+6+12=20
3. 三元环检查：
   • 三元组 (1,2,3)：检查边(1,3)是否存在？完全图存在，乘积 1×2×3=6
   • 三元组 (2,3,4)：检查边(2,4)是否存在？存在，乘积 2×3×4=24 总和 30。 总价值 = 10+20+30 = 60。

但输出是 69，说明有更高的路径。

尝试路径 1-3-2-4：

1. 节点和：10
2. 边乘积：1×3 + 3×2 + 2×4 = 3+6+8=17
3. 三元环：
   • (1,3,2)：边(1,2)存在，乘积 6
   • (3,2,4)：边(3,4)存在，乘积 24 总和 30。 总价值 = 10+17+30 = 57。

路径 4-1-2-3：

1. 节点和：10
2. 边乘积：4×1 + 1×2 + 2×3 = 4+2+6=12
3. 三元环：
   • (4,1,2)：边(4,2)存在，乘积 8
   • (1,2,3)：边(1,3)存在，乘积 6 总和 14。 总价值 = 10+12+14 = 36。

似乎都不够 69。

可能路径 4-2-1-3：

1. 节点和：10
2. 边乘积：4×2 + 2×1 + 1×3 = 8+2+3=13
3. 三元环：
   • (4,2,1)：边(4,1)存在，乘积 8
   • (2,1,3)：边(2,3)存在，乘积 6 总和 14。 总价值 = 10+13+14 = 37。

还是不对。

也许最大值 69 来自路径 4-1-3-2？

1. 节点和：10
2. 边乘积：4×1 + 1×3 + 3×2 = 4+3+6=13
3. 三元环：
   • (4,1,3)：边(4,3)存在，乘积 12
   • (1,3,2)：边(1,2)存在，乘积 6 总和 18。 总价值 = 10+13+18 = 41。

不是。

可能我算错了。让我们直接按照公式计算：

总价值 = 节点和 + 边乘积和 + 三元环乘积和。

对于完全图 $K_4$，任何路径的节点和固定为 10。

边乘积和取决于路径中相邻节点的权值乘积。

三元环乘积和取决于连续三个节点是否构成三角形（即中间节点与首尾节点是否都有边），由于完全图，任何三个节点都构成三角形，所以只要路径长度 ≥3，每个连续三元组都贡献乘积。

因此，对于路径 $p_1, p_2, p_3, p_4$，总价值 =

$$\sum_{i=1}^4 V_{p_i} + \sum_{i=1}^3 V_{p_i} V_{p_{i+1}} + \sum_{i=1}^2 V_{p_i} V_{p_{i+1}} V_{p_{i+2}}$$

我们需要最大化这个表达式。

暴力枚举所有 12 条路径，计算得到最大值 69，对应路径可能是 4-3-1-2？计算：

• 节点和：4+3+1+2=10
• 边乘积：4×3 + 3×1 + 1×2 = 12+3+2=17
• 三元环乘积：4×3×1 + 3×1×2 = 12+6=18 总价值 = 10+17+18=45，不对。

可能路径 4-2-3-1：

• 节点和：10
• 边乘积：4×2 + 2×3 + 3×1 = 8+6+3=17
• 三元环乘积：4×2×3 + 2×3×1 = 24+6=30 总价值 = 10+17+30=57。

还是不对。

实际上，输出 69，说明有一条路径总价值为 69。让我们反推：

设路径为 a-b-c-d。 总价值 = (a+b+c+d) + (ab+bc+cd) + (abc+bcd) = a+b+c+d + ab+bc+cd + abc+bcd。

代入权值 1,2,3,4 的不同排列。

计算所有排列（12种）： 我们写程序计算，但这里手工尝试几个：

• 1-2-3-4：=10 + (2+6+12) + (6+24) =10+20+30=60
• 1-2-4-3：=10+(2+8+12)+(8+24)=10+22+32=64
• 1-3-2-4：=10+(3+6+8)+(6+16)=10+17+22=49
• 1-3-4-2：=10+(3+12+8)+(12+24)=10+23+36=69 ← 找到了！

验证：路径 1-3-4-2 节点和：1+3+4+2=10 边乘积：1×3=3, 3×4=12, 4×2=8，总和 23 三元环乘积：1×3×4=12, 3×4×2=24，总和 36 总价值 = 10+23+36=69。

因此最大值 69，只有这一条路径？输出 69 1，说明只有一种（不考虑逆序）。

注意：逆序 2-4-3-1 与 1-3-4-2 是同一路径，所以只算一条。

数据范围

• $2 \le n \le 13$
• $1 \le m \le \frac{n(n-1)}{2}$
• 权值不超过 100

算法分析

由于 $n \le 13$，可以使用状态压缩动态规划枚举所有汉密尔顿路径。

状态定义

设 $dp[mask][i][j]$ 表示当前已访问节点集合为 $mask$（二进制位表示），路径的最后两个节点为 $i$ 和 $j$（即最后一条边是 $(i,j)$）时的最大总价值，以及达到该价值的路径条数。

其中 $mask$ 包含 $i$ 和 $j$。

转移

考虑下一个节点 $k$，需要满足：

• $k \notin mask$
• 存在边 $(j,k)$

新的状态 $mask' = mask \cup \{k\}$，最后两个节点为 $(j,k)$。

价值增加：

1. 节点 $k$ 的权值 $V_k$（节点和部分，但节点和是所有节点权值和，可以在最后统一加，或者每次加新节点时加上。注意第一个节点和第二个节点需要加两次？实际上节点和是所有节点权值之和，与路径顺序无关，所以可以提前计算总和，不需要在 DP 中累加）。
2. 边 $(j,k)$ 的乘积 $V_j \times V_k$。
3. 三元环：如果存在边 $(i,k)$，则增加三元组乘积 $V_i \times V_j \times V_k$。

因此，转移时的价值增量为：

$$\Delta = V_k + V_j \times V_k + ( \text{if edge}(i,k) \text{ exists then } V_i \times V_j \times V_k \text{ else } 0 )$$

但注意：节点和部分，第一个节点之前没有边和三元环，需要特殊处理。我们可以初始化状态为两个节点的路径。

初始化

枚举所有边 $(i,j)$，初始状态 $mask = (1<<i) | (1<<j)$，最后两个节点为 $(i,j)$。价值 = $V_i + V_j + V_i \times V_j$（节点和 + 边乘积），没有三元环。

最终答案

当 $mask$ 包含所有节点（即 $mask = (1<<n)-1$）时，更新全局最大值和方案数。

注意：路径反向视为同一条，所以最后方案数需要除以 2？但我们在 DP 中已经区分了方向，因为状态记录了最后两个节点，方向是固定的。但最终统计时，每条路径会从两个方向各被计算一次（起点和终点互换），所以最终方案数应除以 2。

复杂度

状态数：$2^n \times n \times n$，对于 $n=13$，$2^{13}=8192$，$n^2=169$，总状态数约 $1.38 \times 10^6$，每个状态转移最多 $n$ 次，总操作约 $1.38 \times 10^6 \times 13 \approx 1.8 \times 10^7$，可接受。

实现细节

• 用邻接矩阵存边，方便判断 $edge[i][k]$。
• DP 数组存储两个值：最大价值和对应路径数。
• 转移时，如果新价值大于当前记录，则更新价值和方案数；如果等于当前记录，则方案数累加。
• 最终答案需要检查所有 $mask$ 满的状态，取最大值。

节点和的处理

节点和与路径顺序无关，所以我们可以预先计算所有节点权值之和 $sumV$，然后 DP 中只计算边乘积和三元环乘积，最后总价值 = $sumV$ + 最大（边乘积和+三元环乘积）。

但初始化时，两个节点的路径价值 = $V_i + V_j + V_i \times V_j$，其中 $V_i+V_j$ 是节点和的一部分，而 $sumV$ 包含所有节点，所以不能简单加 $sumV$。

因此，在 DP 中，我们统一计算额外价值（即边乘积和三元环乘积），而节点和单独加。

设 $dp$ 存储额外价值（边乘积和三元环乘积之和）的最大值。

初始化：对于边 $(i,j)$，额外价值 = $V_i \times V_j$。

转移：$\Delta = V_j \times V_k + ( \text{if edge}(i,k) \text{ then } V_i \times V_j \times V_k \text{ else } 0 )$。

最终总价值 = $sumV + dp_{full}$。

方案数

方案数需要在 DP 中同时记录。

样例验证

对于第一组数据，$n=3$，权值全 2。 $sumV = 6$。

初始化边：

• (1,2): 额外价值 = 2×2=4
• (2,3): 4
• (3,1): 4

转移： 从状态 (1,2) 加节点 3：$\Delta = V_2×V_3 + (边(1,3)存在 ? V_1×V_2×V_3 : 0) = 4 + 8 = 12$。 总额外价值 = 4+12=16。 总价值 = 6+16=22。

其他路径类似，所有路径额外价值都是 16，总价值 22。 方案数：3 条路径。

第二组数据，需要 DP 计算得到最大值额外价值 59（因为总价值 69，$sumV=10$，所以额外价值 59），方案数 1。

总结

本题是状态压缩 DP 的典型应用，需要仔细处理价值计算和方案统计。由于 $n$ 较小，可以直接枚举所有状态。