题目描述

给定两个整数 $a$ 和 $b$，求 $a$ 和 $b$ 之间的所有数字中 $0 \sim 9$ 的出现次数。

例如，$a = 1024$，$b = 1032$，则 $a$ 和 $b$ 之间共有 $9$ 个数如下：

1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032

其中 $0$ 出现 $10$ 次，$1$ 出现 $10$ 次，$2$ 出现 $7$ 次，$3$ 出现 $3$ 次等等…

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据占一行，包含两个整数 $a$ 和 $b$。

当读入一行为 0 0 时，表示输入终止，且该行不作处理。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

每个结果包含十个用空格隔开的数字，第一个数字表示 $0$ 出现的次数，第二个数字表示 $1$ 出现的次数，以此类推。

样例

1 10
44 497
346 542
1199 1748
1496 1403
1004 503
1714 190
1317 854
1976 494
1001 1960
0 0

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
85 185 185 185 190 96 96 96 95 93
40 40 40 93 136 82 40 40 40 40
115 666 215 215 214 205 205 154 105 106
16 113 19 20 114 20 20 19 19 16
107 105 100 101 101 197 200 200 200 200
413 1133 503 503 503 502 502 417 402 412
196 512 186 104 87 93 97 97 142 196
398 1375 398 398 405 499 499 495 488 471
294 1256 296 296 296 296 287 286 286 247

样例解释

第一组数据

$a = 1, b = 10$
区间 $[1,10]$ 的数字：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
统计每个数字的出现次数：

• 0 出现 1 次（在 10 中）
• 1 出现 2 次（在 1 和 10 中）
• 2 出现 1 次
• 3 出现 1 次
• 4 出现 1 次
• 5 出现 1 次
• 6 出现 1 次
• 7 出现 1 次
• 8 出现 1 次
• 9 出现 1 次

输出：1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

第二组数据

$a = 44, b = 497$
区间 $[44,497]$ 包含较多数字，需要编程计算。

输出：85 185 185 185 190 96 96 96 95 93

数据范围

• $0 < a, b < 10^8$（即 $1 \le a,b \le 10^8-1$）
• 多组测试数据，直到 0 0 结束。

算法分析

这是一个经典的数位统计问题。

问题转化

求区间 $[a,b]$ 中每个数字 $0 \sim 9$ 出现的次数，可以转化为：

$$\text{count}(d, a, b) = \text{count}(d, 1, b) - \text{count}(d, 1, a-1)$$

其中 $\text{count}(d, l, r)$ 表示数字 $d$ 在区间 $[l, r]$ 中出现的次数。

因此，我们只需要实现函数 $\text{count}(d, n)$，表示数字 $d$ 在 $1 \sim n$ 中出现的次数。

计算 $\text{count}(d, n)$

将 $n$ 表示为十进制数 $n_k n_{k-1} \dots n_1 n_0$（从高位到低位）。

我们枚举每一位，计算数字 $d$ 在该位上出现的次数。

设当前考虑第 $i$ 位（从低位开始，$i=0$ 表示个位），该位左边的数字为 $left = n / 10^{i+1}$，右边的数字为 $right = n \% 10^i$，当前位的数字为 $cur = (n / 10^i) \% 10$。

分类讨论

1. $d \neq 0$：

   • 如果 $cur > d$，则左边可以取 $0 \sim left$，共 $(left + 1) \times 10^i$ 次。
   • 如果 $cur = d$，则左边取 $0 \sim left-1$ 时，右边可以取 $0 \sim 10^i-1$，共 $left \times 10^i$ 次；左边取 $left$ 时，右边只能取 $0 \sim right$，共 $right + 1$ 次。总计 $left \times 10^i + right + 1$ 次。
   • 如果 $cur < d$，则左边可以取 $0 \sim left-1$，共 $left \times 10^i$ 次。

2. $d = 0$： 需要注意前导零的问题。当 $d=0$ 时，我们不能有前导零，即左边的数字不能为 0（否则这一位就是前导零，不应该计数）。

   • 如果 $cur > 0$，则左边可以取 $1 \sim left$（不能取 0），共 $left \times 10^i$ 次。
   • 如果 $cur = 0$，则左边取 $1 \sim left-1$ 时，右边可以取 $0 \sim 10^i-1$，共 $(left-1) \times 10^i$ 次；左边取 $left$ 时，右边只能取 $0 \sim right$，共 $right + 1$ 次。总计 $(left-1) \times 10^i + right + 1$ 次。
   • 如果 $cur < 0$ 不可能，因为 $cur \ge 0$。

注意：当 $left=0$ 且 $d=0$ 时，这一位是前导零，不计入。

实现步骤

对于每个测试用例：

1. 如果 $a > b$，交换 $a$ 和 $b$（因为区间可能是 $[b,a]$）。
2. 对于每个数字 $d = 0 \sim 9$，计算 $\text{count}(d, b) - \text{count}(d, a-1)$。
3. 输出结果。

复杂度

对于每个 $d$，计算 $\text{count}(d, n)$ 需要 $O(\log_{10} n)$ 时间，总共 $10 \times O(\log n)$，可以很快完成。

注意事项

• 注意 $a$ 可能为 1，此时 $a-1=0$，需要特殊处理 $\text{count}(d, 0)$ 返回 0。
• 注意 $d=0$ 时的前导零处理。
• 输入直到 0 0 结束。

样例验证

以第一组数据为例，$a=1,b=10$：

• 对于 $d=0$：$\text{count}(0,10) - \text{count}(0,0) = 1 - 0 = 1$
• 对于 $d=1$：$\text{count}(1,10) - \text{count}(1,0) = 2 - 0 = 2$
• 其他 $d$ 类似。

正确。