AT_abc324_f [ABC324F] Beautiful Path

题目描述

有一个包含 $N$ 个顶点和 $M$ 条边的有向图。每条边都被赋予了两个正整数值，分别表示美丽值和花费。

对于 $i = 1, 2, \ldots, M$，第 $i$ 条边是从顶点 $u_i$ 指向顶点 $v_i$ 的有向边，其美丽值为 $b_i$，花费为 $c_i$。这里保证 $u_i < v_i$。

请你选择一条从顶点 $1$ 到顶点 $N$ 的路径 $P$，使得下述值的最大值是多少：

• $P$ 上所有边的美丽值之和除以 $P$ 上所有边的花费之和

保证在给定的图中，至少存在一条从顶点 $1$ 到顶点 $N$ 的路径。

输入格式

输入以如下格式从标准输入读入。

$N$ $M$
$u_1$ $v_1$ $b_1$ $c_1$
$u_2$ $v_2$ $b_2$ $c_2$
$\vdots$
$u_M$ $v_M$ $b_M$ $c_M$

输出格式

请输出答案。当你输出的值与真实值的相对误差或绝对误差不超过 $10^{-9}$ 时，将被判定为正确。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 7
1 2 3 6
1 3 9 5
2 3 1 5
2 4 5 3
2 5 1 9
3 4 4 8
4 5 2 7

输出 #1

0.7500000000000000

输入输出样例 #2

输入 #2

3 3
1 3 1 1
1 3 2 1
1 3 3 1

输出 #2

3.0000000000000000

输入输出样例 #3

输入 #3

10 20
3 4 1 2
7 9 4 5
2 4 4 5
4 5 1 4
6 9 4 1
9 10 3 2
6 10 5 5
5 6 1 2
5 6 5 2
2 3 2 3
6 10 4 4
4 6 3 4
4 8 4 1
3 5 3 2
2 4 3 2
3 5 4 2
1 5 3 4
1 2 4 2
3 7 2 2
7 8 1 3

输出 #3

1.8333333333333333

说明/提示

限制条件

• $2 \leq N \leq 2 \times 10^5$
• $1 \leq M \leq 2 \times 10^5$
• $1 \leq u_i < v_i \leq N$
• $1 \leq b_i, c_i \leq 10^4$
• 存在至少一条从顶点 $1$ 到顶点 $N$ 的路径
• 所有输入的数值均为整数

样例解释 1

如果选择路径 $P$，依次经过第 $2, 6, 7$ 条边，即 $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$，那么「$P$ 上所有边的美丽值之和除以 $P$ 上所有边的花费之和」为 $(b_2 + b_6 + b_7) / (c_2 + c_6 + c_7) = (9 + 4 + 2) / (5 + 8 + 7) = 15 / 20 = 0.75$，这是可能取得的最大值。

由 ChatGPT 4.1 翻译