AT_abc262_d [ABC262D] I Hate Non-integer Number

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的正整数序列 $A=(a_1,\ldots,a_N)$。
从 $A$ 中选择 $1$ 个及以上的项的方法共有 $2^N-1$ 种，其中有多少种选择方式，使得所选项的平均值为整数？请输出方案数对 $998244353$ 取模的结果。

输入格式

输入以以下格式从标准输入读入。

$N$ $a_1$ $\ldots$ $a_N$

输出格式

请输出答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
2 6 2

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

5
5 5 5 5 5

输出 #2

31

说明/提示

限制条件

• $1 \leq N \leq 100$
• $1 \leq a_i \leq 10^9$
• 输入均为整数

样例解释 1

对于 $A$ 的每种选取方式，其平均值如下所示。

• 只选 $a_1$ 时，平均值为 $\frac{a_1}{1}=\frac{2}{1}=2$，是整数。
• 只选 $a_2$ 时，平均值为 $\frac{a_2}{1}=\frac{6}{1}=6$，是整数。
• 只选 $a_3$ 时，平均值为 $\frac{a_3}{1}=\frac{2}{1}=2$，是整数。
• 选 $a_1$ 和 $a_2$ 时，平均值为 $\frac{a_1+a_2}{2}=\frac{2+6}{2}=4$，是整数。
• 选 $a_1$ 和 $a_3$ 时，平均值为 $\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+2}{2}=2$，是整数。
• 选 $a_2$ 和 $a_3$ 时，平均值为 $\frac{a_2+a_3}{2}=\frac{6+2}{2}=4$，是整数。
• 选 $a_1$、$a_2$ 和 $a_3$ 时，平均值为 $\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{2+6+2}{3}=\frac{10}{3}$，不是整数。

综上，共有 $6$ 种选法满足条件。

样例解释 2

无论如何选择 $A$ 的项，平均值都为 $5$。

由 ChatGPT 4.1 翻译