AT_abc244_f [ABC244F] Shortest Good Path

题目描述

给定一个包含 $N$ 个顶点和 $M$ 条边的简单（无自环且无重边）且连通的无向图。
对于 $i = 1, 2, \ldots, M$，第 $i$ 条边连接顶点 $u_i$ 和顶点 $v_i$。

满足以下两个条件的整数序列 $(A_1, A_2, \ldots, A_k)$ 被称为长度为 $k$ 的路径：

• 对于所有 $i = 1, 2, \ldots, k$，有 $1 \leq A_i \leq N$。
• 对于所有 $i = 1, 2, \ldots, k-1$，顶点 $A_i$ 和顶点 $A_{i+1}$ 之间有一条边直接相连。

空序列也被视为长度为 $0$ 的路径。

设 $S = s_1s_2\ldots s_N$ 是一个仅由 $0$ 和 $1$ 组成的长度为 $N$ 的字符串。当路径 $A = (A_1, A_2, \ldots, A_k)$ 满足下述条件时，称路径 $A$ 是关于 $S$ 的好路径：

• 对于所有 $i = 1, 2, \ldots, N$，满足以下条件：
  • 若 $s_i = 0$，则 $A$ 中 $i$ 出现的次数为偶数。
  • 若 $s_i = 1$，则 $A$ 中 $i$ 出现的次数为奇数。

对于所有可能的 $S$（即所有长度为 $N$ 的仅由 $0$ 和 $1$ 组成的字符串，共有 $2^N$ 个），请输出“关于 $S$ 的好路径中最短的路径长度”的总和。

在本题的约束下，可以保证无论选择哪一个由 $0$ 和 $1$ 组成的长度为 $N$ 的字符串 $S$，都至少存在一个关于 $S$ 的好路径。

输入格式

输入以如下格式从标准输入读入。

$N$ $M$
$u_1$ $v_1$
$u_2$ $v_2$
$\vdots$
$u_M$ $v_M$

输出格式

请输出答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 2
1 2
2 3

输出 #1

14

输入输出样例 #2

输入 #2

5 5
4 2
2 3
1 3
2 1
1 5

输出 #2

108

说明/提示

约束

• $2 \leq N \leq 17$
• $N-1 \leq M \leq \frac{N(N-1)}{2}$
• $1 \leq u_i, v_i \leq N$
• 给定的图是简单且连通的
• 输入均为整数

样例解释 1

• 当 $S = 000$ 时，空序列 $()$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $0$。
• 当 $S = 100$ 时，$(1)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $1$。
• 当 $S = 010$ 时，$(2)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $1$。
• 当 $S = 110$ 时，$(1, 2)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $2$。
• 当 $S = 001$ 时，$(3)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $1$。
• 当 $S = 101$ 时，$(1, 2, 3, 2)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $4$。
• 当 $S = 011$ 时，$(2, 3)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $2$。
• 当 $S = 111$ 时，$(1, 2, 3)$ 是关于 $S$ 的最短好路径，其长度为 $3$。

因此，所求答案为 $0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 4 + 2 + 3 = 14$。

由 ChatGPT 4.1 翻译