AT_abc201_e [ABC201E] Xor Distances

题目描述

有一棵包含 $N$ 个顶点的带权树。第 $i$ 条边连接顶点 $u_i$ 和顶点 $v_i$，其权值为 $w_i$，且为无向边。

对于顶点对 $(x, y)$，定义 $\text{dist}(x, y)$ 为：

• 从 $x$ 到 $y$ 的最短路径上所有边的权值的 异或和。

请计算所有满足 $1 \leq i < j \leq N$ 的顶点对 $(i, j)$ 的 $\text{dist}(i, j)$ 之和，并输出其对 $10^9+7$ 取模的结果。

异或（XOR） 的定义如下：对于整数 $a, b$，它们的按位异或 $a\ \text{XOR}\ b$ 定义为：

• $a\ \text{XOR}\ b$ 的二进制表示中，第 $2^k$ 位（$k \geq 0$）为 $1$ 当且仅当 $a, b$ 的二进制表示中第 $2^k$ 位恰好有一个为 $1$，否则为 $0$。

例如，$3\ \text{XOR}\ 5 = 6$，因为二进制下 $011\ \text{XOR}\ 101 = 110$。

输入格式

输入通过标准输入给出，格式如下：

$N$
$u_1\ v_1\ w_1$
$u_2\ v_2\ w_2$
$\vdots$
$u_{N-1}\ v_{N-1}\ w_{N-1}$

输出格式

输出所有 $\text{dist}(i, j)$ 之和对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
1 2 1
1 3 3

输出 #1

6

输入输出样例 #2

输入 #2

5
3 5 2
2 3 2
1 5 1
4 5 13

输出 #2

62

输入输出样例 #3

输入 #3

10
5 7 459221860242673109
6 8 248001948488076933
3 5 371922579800289138
2 5 773108338386747788
6 10 181747352791505823
1 3 803225386673329326
7 8 139939802736535485
9 10 657980865814127926
2 4 146378247587539124

输出 #3

241240228

说明/提示

限制条件

• $2 \leq N \leq 2 \times 10^5$
• $1 \leq u_i < v_i \leq N$
• $0 \leq w_i < 2^{60}$
• 给定的图为一棵树
• 所有输入均为整数

样例解释 1

$\text{dist}(1,2)=1,\ \text{dist}(1,3)=3,\ \text{dist}(2,3)=2$，它们的总和为 $6$。

样例解释 3

请输出对 $10^9+7$ 取模的结果。

由 ChatGPT 4.1 翻译